Weltraumausflug: Darstellbarkeit reeller Zahlen

Manchmal denke ich über die absonderlichsten Probleme nach.

Mir ist aufgefallen, dass es für die Darstellung von π eine ganze Reihe kompakter geschlossener Näherungsformeln gibt (siehe hier). Da fragte ich mich, ob man für jede reelle Zahl eine solche angeben kann.

Meine Antwort war: vielleicht nicht, aber das braucht man auch nicht, denn wenn man ihre Beziehung zu bekannten Zahlen beschreiben kann, kann man sie (denke ich) auch mit einer Formel annähern – wenn nicht, erübrigt es sich sowieso!

Mehr kann man sagen, wenn man sich überlegt, was man unter „kompakt“ versteht. Eine mögliche Definition ist: „Eine Zeichenkette von n oder weniger Zeichen.“ , wobei n eine willkürliche, nicht zu große Zahl ist, sagen wir 100. Dann kann man sich überlegen, wieviele reelle Zahlen ich maximal darstellen kann. Wenn ich annehme, dass jede mögliche Zeichenkette eine Zahl oder ihre Näherungsformel beschreibt (was ziemlich großzügig ist) und dass die Basis des Zeichensystems sagen wir 40 ist (Buchstaben, Zahlen und mathematische Sonderzeichen) können wir die Anzahl der darstellbaren reellen Zahlen zu 40100 bestimmen, während die entsprechende Menge an natürlichen Zahlen nur 10100 beträgt.

Das ist allerdings unfair, da in dem ersten Zeichensystem viel mehr Information pro Zeichen steckt als im Zweiten. Wenn ich also nach einer formellen Beschwerde der natürlichen Zahlen für beide dieselbe Basis des Zahlensystems verwende, zum Beispiel 2, schneiden die Reellen schlechter ab: Die maximale Anzahl darstellbarer Zahlen ist in beiden Fällen von der gleichen Größenordnung.

D.h. einerseits sind die reellen Zahlen viel „dichter“ als die rationalen, zu schweigen von den natürlichen, praktisch ist ihre verfügbare Anzahl jedoch wie bei allen anderen Objekten von der Länge ihrer Repräsentation abhängig.

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